无形之网：高一物理第九章第3节 电场 电场强度 · 互动闯关式学习 · 人教版高中物理必修三

老师傅掏出一个小球。

“这是什么？”

“试探电荷。”

小理凑过去看。小球很小。比指甲盖还小。

“它的体积很小。电荷量也很小。体积小，才能研究电场各点的性质；电荷量小，放进去才不会影响原来的电场。”

小理点了点头——然后又停住了。

“就像用温度计测水温，温度计不能太大，否则会改变水温。”

“对。”老师傅笑了，“你这比喻很好。另外，激发电场的带电体所带的电荷，叫场源电荷。或者源电荷。”

实验室中央放着一个带正电的金属球Q。像一个发光的太阳。

“电场看不见摸不着，怎么知道它有多强？”小理刚才还在自言自语。

现在他知道了。

老师傅把试探电荷q₁放在A点。测量它受到的静电力F₁。

然后换一个电荷量是2q₁的试探电荷。放在同一位置A点。

小理凑过去看。静电力变成了2F₁。

“电荷量翻倍，力也翻倍。”

老师傅又换了一个电荷量是3q₁的试探电荷。力变成了3F₁。

“所以F与q成正比。”小理说。

老师傅点点头：“这个常数，与试探电荷的电荷量无关。只与电场中这个位置有关。它反映了电场的力的性质。”

小理在纸上写：F/q = 常数。

他停了一下。把纸翻过来。背面什么都没有……

“这个常数是什么？”

“电场强度。”老师傅说，“简称场强。”

他在黑板上写下：E = F/q。

“放入电场中某点的试探电荷所受的电场力F与它的电荷量q的比值，叫做电场强度。”

“单位是牛每库，符号N/C。”

小理问：“E与F成正比，与q成反比吗？”

老师傅摇摇头：“不对。E是电场本身的属性。由场源电荷和空间位置决定。与试探电荷无关。F和q都在变——但它们的比值不变。”

“就像密度（质量m和体积V都在变），但m/V的比值不变。”

小理没说话。他盯着那个公式看了两秒。

“所以E是电场的'身份证'。不管放不放试探电荷，电场强度都是那么大。”

老师傅笑了。

小理把这句话抄在笔记本上。铅笔尖又断了。

他叹了口气。从铅笔盒里摸出另一根。

（铅笔盒里已经有三根断铅笔了。他一直没扔。）

他忽然想起爸爸修表时，工具箱里也有一把旧螺丝刀。螺丝刀柄上缠着胶布。爸爸说那把螺丝刀跟了他二十年。

小理从实验室出来。手里拿着一张纸条。上面写着：“F/q是常数。叫电场强度。”

他一边走一边琢磨。

琥珀吊坠又亮了。把他带到了一个小镇的广场上。

广场中央有一个巨大的秤。秤上写着“电场强度测量仪”。

一个老爷爷坐在秤旁边。笑眯眯地看着他。

“小伙子，来测测电场强度？”

老爷爷指着秤说：“这个秤可以测量电场中某点的电场强度。方法很简单：把试探电荷放进去，测量它受到的力，然后除以电荷量。”

他在秤上写下：E = F/q。

“放入电场中某点的试探电荷所受的电场力F与它的电荷量q的比值，叫做电场强度。”

“单位是牛每库，符号N/C。”

小理问：“E与F成正比，与q成反比吗？”

老爷爷摇摇头：“不对。E是电场本身的属性。由场源电荷和空间位置决定。与试探电荷无关。F和q都在变，但它们的比值不变。”

“就像密度。质量m和体积V都在变，但m/V的比值不变。”

小理没说话。

他盯着那个秤看了两秒。

“所以E是电场的'身份证'。不管放不放试探电荷，电场强度都是那么大。”

老爷爷笑了。

小理看见老爷爷手腕上有一块怀表。表停了。

老爷爷说：“这表是我爸留给我的。不走了。我修了好几年——没修好。”

小理忽然想起他爸。他爸也修过一块表。修了两年。也没修好。

他没接话。

“电场强度是矢量。有方向。”老爷爷又说。

“物理学中规定，电场强度的方向跟正电荷在该点所受的静电力的方向相同。”

他在纸上画了一个带正电的场源电荷+Q。在它右边放一个正试探电荷+q。

“你看，+q受到的力是向右的。所以这一点的电场强度方向也是向右的。”

然后他又画了一个负试探电荷-q。

“如果是负电荷，它受到的力是向左的。但电场强度的方向仍然是向右的。”

“所以，负电荷在电场中某点受到的电场力的方向跟该点的电场强度方向相反。”

小理在笔记本上画了两个箭头。一个向右。一个向左。

“E的方向跟正电荷受力方向相同。跟负电荷受力方向相反。”

老爷爷点点头。

“电场强度还有两个重要性质。”

“第一，唯一性。电场中某点的电场强度E是唯一的。是由电场本身的特性决定的。与是否放入试探电荷、放入电荷的电性、电荷量的多少均无关。”

“第二，矢量性。电场强度是矢量。遵循平行四边形定则。”

“所以，不能从数学角度理解E∝F。E与F、q无关。”

小理把笔记本合上。

“我本来觉得，E跟F成正比。后来发现，不是。”

他站起来。发现鞋带开了。蹲下系。系了两次才系好。

第一次系完站起来发现太松。又蹲下重系。

草原中央有一个带正电的小球Q。周围是一片空旷。

“点电荷是最简单的场源电荷。”一个声音从身后传来。

小理回头。看见一个穿古代长袍的老人。手里拿着一支粉笔。在地上画了一个圆圈。

“我是卡文迪什。”老人笑了笑，“你知道点电荷的电场有什么特点吗？”

卡文迪什在地上写下：F = kQq/r²。

“这是库仑定律。如果把试探电荷q放在距离场源电荷Q为r的点，它受到的力是F。”

“根据电场强度的定义，E = F/q。把F代入：”

E = (kQq/r²) / q = kQ/r²

“所以点电荷的电场强度公式是 E = kQ/r²。”

小理点点头：“这个公式里，Q是场源电荷。r是到场源电荷的距离。”

“对。以Q为中心作一个球面。球面上各点的电场强度大小相等。但方向不同。因为方向是沿半径向外（正电荷）或向内（负电荷）的。”

卡文迪什又强调：“这个公式只适用于真空中点电荷的电场。如果r→0，带电荷量为Q的物体就不能看成点电荷了。E的计算结果也不成立。”

小理又问：“如果是一个很大的带电球体呢？”

卡文迪什画了一个大圆。标上“带电球体，半径R”。在大圆外面画了一个点P。标上距离r。

“一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。”

“也就是说，在球外部，E = kQ/r²。r是球心到该点的距离。”

“但在球内部，情况不同。均匀带电球体内部的电场强度与到球心的距离成正比。”

小理若有所思——然后又停住了。

“所以从外面看，球体就像一个点电荷。”

小理突然想到一个问题：“这两个公式有什么区别？”

卡文迪什在黑板上画了一个表格：

E = F/q：定义式，适用于一切电场。q是试探电荷。
E = kQ/r²：决定式，适用于真空中点电荷的电场。Q是场源电荷。

“定义式给出了量度电场强弱的方法。决定式指明了点电荷场强由Q和r决定。”

“E = F/q中，E与F、q无关；E = kQ/r²中，E与Q成正比，与r²成反比。”

小理在笔记本上抄下这两个公式。

他抄到一半。笔没水了。

他甩了两下。甩出一滴墨。滴在本子上。

（他后来翻了翻笔记本。发现前面几页也有墨点。都是同一支笔甩的。）

“算了。”他合上本子。

卡文迪什的粉笔盒里有一截断粉笔。断口很整齐。

小理看了一眼。忽然想起他爸。他爸以前在工厂上班。每天回家口袋里都有几截断粉笔。他说是画图纸用的。

舞台。

两个小球。一个正。一个负。

“求P点的电场。”

小理看着那两个小球。挠了挠头。

“两个电荷都在P点产生电场。怎么算？”

卡文迪什走上舞台。画了一个点P。

“电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。”

他画了两个箭头。E₁向右上方。E₂向右下方。

然后以E₁和E₂为邻边，画了一个平行四边形。对角线就是合电场E。

“遵循平行四边形定则。”

“而且——同一空间内各个场强对电荷的作用互不影响。这叫独立性。”

小理在笔记本上画了一个平行四边形。

他画到一半。笔尖断了。

他盯着断掉的笔尖看了两秒。没换笔。就用断的那头继续画。

画出来的线比原来粗了一倍。

卡文迪什在黑板上画了一道题：

“真空中，带电荷量分别为+Q和-Q的点电荷A、B相距r。求两点电荷连线的中点O的电场强度大小和方向。”

小理分析：+Q在O点产生的电场方向向右，大小为kQ/(r/2)²；-Q在O点产生的电场方向也向右，大小也为kQ/(r/2)²。

合场强：E = 2 × kQ/(r/2)² = 8kQ/r²。方向由A指向B。

“那如果是在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的点O'呢？”

小理继续分析：+Q在O'点产生的电场E₁，方向沿AO'方向；-Q在O'点产生的电场E₂，方向沿O'B方向。两个电场方向夹角为120°。

合场强：E' = E₁ = E₂ = kQ/r²。方向平行于AB向右。

卡文迪什又强调：“电场强度的叠加还有一个重要特点——独立性。”

“Q₁在P点产生的电场，不会因为Q₂的存在而改变。”

“就像两个人同时推一个箱子。每个人的推力不会因为对方的存在而改变。”

小理没说话。

舞台角落里有一把旧椅子。木头扶手。漆都掉了。

他爸以前也坐这种椅子修东西。

他看了那把椅子两秒。然后把目光移开。

法拉第正站在一块大黑板前。手里拿着一支粉笔。画着一条条曲线。

“你来得正好。”法拉第说，“我一直在想，能不能用一些曲线来形象地描述电场？”

“曲线？”小理凑过去看。

“对。你看这条曲线，曲线上每一点的切线方向，就表示该点的电场强度方向。”

法拉第在曲线上标了一个点A。画了一条切线。标上箭头。写上“E_A”。又在另一个点B画了切线。标上“E_B”。

“这样的曲线，我叫它电场线。”

法拉第在黑板上画了一个带正电的小球。从球心向外画了八条射线。箭头都指向外。

“这是正电荷的电场线分布。电场线从正电荷出发，指向无穷远。”

他又画了一个带负电的小球。八条射线箭头都指向球心。

“这是负电荷的电场线分布。电场线从无穷远出发，终止于负电荷。”

小理注意到，靠近小球的地方电场线很密集。远离小球的地方电场线很稀疏。

“电场线的疏密表示电场强度的大小。”法拉第解释道，“电场线越密集的地方，电场强度越大。”

“以点电荷为中心的球面上各点，电场线处处与球面垂直。场强大小处处相等。方向各不相同。”

法拉第又画了两个带等量正电荷的小球。左边一个。右边一个。

“这是等量同种正电荷的电场线。你看，两电荷连线中点O处，电场线最稀薄。电场强度为零。”

“中垂线上，O点场强为零。从O点向上或向下，电场强度先变大后变小。”

然后他画了两个带等量异种电荷的小球。左边正。右边负。

“这是等量异种电荷的电场线。两电荷连线中点O处，电场线最稀薄。但电场强度不为零。方向水平向右。”

“中垂线上，O点场强最大。方向均水平向右。”

法拉第放下粉笔。总结道：

“电场线有几个重要特点，你要记住。”

“第一，电场线是不存在的。是假想的曲线。是为了形象描述电场而引入的工具。”

“第二，电场线不是带电粒子的运动轨迹。”

“第三，同一幅图中，电场线越密集的地方，电场强度越大。”

“第四，在静电场中，电场线从正电荷出发，终止于负电荷；或从无限远出发，终止于负电荷。”

“第五，同一电场中，任意两条电场线不相交。”

小理在笔记本上画了几条电场线。

他画到一半。笔帽拔了半天没拔开。

后来发现是拿反了。

他笑了一声。旁边没有人听见。

法拉第书房的窗户上有一道裂痕。长长的。从左上到右下。

小理盯着那道裂痕看了一会儿。他爸修表的时候，有一次不小心在玻璃上划了一道。也是这样的裂痕。后来那块表没修好。裂痕还在。

“电场线是带电粒子的运动轨迹吗？”

“不是。”

卡文迪什放下教鞭。看着他。

“为什么？”

“电场线是假想的。轨迹是实际的。”

“还有呢？”

“只有在特殊情况下——电场线是直线，带电粒子初速度为零或初速度方向沿电场线方向，且只受电场力时——运动轨迹才与电场线重合。”

卡文迪什点点头。

“那点电荷的电场中，球面上各点电场强度相同吗？”

“大小相等。方向不同。”

“所以找不到完全相同的点？”

“对。”

四周漂浮着各种电场线的立体模型。一个正电荷的模型在慢慢旋转。

“那带电球体内部的电场呢？”

卡文迪什画了一个大圆。标上“带电球体，半径R”。在球内部画了一个点P。标上距离球心r。

“均匀带电球体内部的电场强度与到球心的距离成正比。”

“在球心处，电场强度为零。”

“在球表面处，电场强度为kQ/R²。”

“所以从球心到球表面，电场强度是线性增加的。”

“对。”

卡文迪什又画了几组电场线：

“等量异种点电荷的电场中，两点电荷连线的中垂线上，O点场强最大。方向均水平向右。”

“等量同种点电荷的电场中，两点电荷连线的中垂线上，O点场强为零。从O点向上或向下，电场强度先变大后变小。”

“这些规律，你都可以通过电场线的疏密来判断。”

小理在笔记本上画了几条线。

他画着画着。忽然想起他爸。

他爸以前教他下棋的时候，也说过类似的话。说单个规则都好记。合在一起就难。

那时候他没听懂。

立体模型的反光映在他脸上。他在那上面看见了自己的脸。像他爸。

他摇了摇头。继续画。

两块金属板平行放置。上面一块带正电。下面一块带负电。中间是均匀的电场。

“这是什么电场？”小理问。

“这是匀强电场。”卡文迪什站在他身后。

“匀强电场？什么叫匀强？”

“各点电场强度的大小相等、方向相同的电场，叫匀强电场。”

卡文迪什指了指两块金属板之间的区域：“你看，电场线是间隔相等的平行直线。这就是匀强电场的电场线。”

“相距很近、带有等量异种电荷的一对平行金属板间的电场（忽略边缘效应），可以看做匀强电场。”

卡文迪什在黑板上画了一道题：

“用30cm的细线将质量为m=4×10⁻³kg的带电小球P悬挂在O点正下方。当空中有方向为水平向右、大小为E=2×10⁴N/C的匀强电场时，小球偏转37°后处在静止状态。”

“第一步，分析小球带何种电荷。”

小理看着图说：“小球受到水平向右的电场力，而电场方向也是水平向右。所以小球带正电。”

“第二步，求小球所带电荷量q。”

小理对小球受力分析：重力mg竖直向下，细线拉力T沿细线方向，电场力qE水平向右。

根据平衡条件：qE = mg·tan37°。

代入数据：q = mg·tan37° / E = (4×10⁻³ × 10 × 0.75) / (2×10⁴) = 1.5×10⁻⁶ C。

“第三步，求剪断细线后带电小球的加速度a。”

小理分析：剪断细线后，小球受重力mg和电场力qE。合力为：F合 = √((mg)² + (qE)²) = mg/cos37°。

加速度 a = F合/m = g/cos37° = 12.5 m/s²。

“方向沿细线延长线方向，斜向右下方。”

卡文迪什在黑板上画了一道更难的题：

“真空中，带电荷量分别为+Q和-Q的点电荷A、B相距r。求两点电荷连线的中点O的电场强度大小和方向。”

小理分析：+Q在O点产生的电场方向向右，大小为kQ/(r/2)²；-Q在O点产生的电场方向也向右，大小也为kQ/(r/2)²。

合场强：E = 2 × kQ/(r/2)² = 8kQ/r²。方向由A指向B。

“那如果是在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的点O'呢？”

小理继续分析：+Q在O'点产生的电场E₁，方向沿AO'方向；-Q在O'点产生的电场E₂，方向沿O'B方向。两个电场方向夹角为120°。

合场强：E' = E₁ = E₂ = kQ/r²。方向平行于AB向右。

卡文迪什总结道：“电场强度这一节，有几个常见陷阱。”

“陷阱一：认为E与F成正比，与q成反比。E由电场本身决定。与试探电荷无关。”

“陷阱二：认为电场线是真实存在的，或者是带电粒子的运动轨迹。”

“陷阱三：认为电场线可以相交。同一电场中，任意两条电场线不相交。”

“陷阱四：认为r→0时E→∞。当r很小时，带电体不能看成点电荷。公式不成立。”

“陷阱五：混淆E=F/q和E=kQ/r²。前者是定义式，适用于一切电场；后者是决定式，只适用于真空中点电荷的电场。”

“陷阱六：忽略电场强度的矢量性。电场强度是矢量。合成遵循平行四边形定则。”

小理在笔记本上把这六条抄下来。

他抄到最后一条。笔没水了。

他甩了两下。没甩出来。

“算了。”他把本子合上。

平行板电容器的金属板反光。映出他自己的脸。像他爸。

“小理——吃饭了！”

妈妈的声音从厨房传来。

他站起来。把本子塞进书包。

“来了。”

他走的时候回头看了一眼。金属板上还映着那个模糊的影子。